Eine der zentralen Methoden des Risiko-Managements sind Wahrscheinlichkeits-Betrachtungen. Deshalb hier ein Einstieg mit dem klassischen Beispiel Würfel:

Auf der x-Achse jeweils die Augenzahlen (Mögliche Werte der Zufallsvariablen) und auf der y-Achse die Häufigkeit des Eintritts (erste beide Graphen) bzw. die Wahrscheinlichkeit des Eintritts (dritter Graph).

Minimaler Satz von Begriffen, die hier erst mal teilweise nur vereinfacht benutzt werden: Zufallsexperiment, Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeit, Häufigkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert, Quantil, Standardabweichung, Korrelation

Ein Würfelwurf ist ein Zufallsexperiment und die Augenzahl des Würfelwurfs ist eine Zufallsvariable. (Der Stand des Aktienperformanceindex DAX zu einem bestimmten Zeitpunkt der Zukunft kann ebenfalls als Zufallsvariable aufgefasst werden.)

Jedem Wert bzw. jeder Größenklasse einer Zufallsvariablen kann man eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Werts ist sein Anteil an den Ergebnissen einer sehr großen Menge an Ausführungen des Zufallsexperiments. Was eine „sehr große Menge“ für das Würfeln ist, kann man oben in den Würfel-Grafiken ausprobieren. Beim (idealen) Würfel kann man aus den physischen Eigenschaften schließen, dass die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl 1/6 ist. (Die Wahrscheinlichkeiten aller Werte summieren sich ímmer zu 1.)

In der rechten oberen Grafik ist jedem Wert der Zufallsvariable Augenzahl seine Wahrscheinlichkeit zugeordnet (Wahrscheinlichkeitsverteilung). Im Falle des Würfels ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung ein Gleichverteilung. Daneben gibt es auch noch andere Verteilungen, die tiefer erforscht sind (z.B. Normalverteilung, Lognormalverteilung, Poissonverteilung, …).

In den beiden linken Grafiken ganz oben sind dagegen Häufigkeitsverteilungen von konkreten Würfen. Entsprechend ändern sie sich von Wurfausführung zu Wurfausführung (probieren Sie es aus!). Man kann sehen, dass es gar nicht so einfach ist, bei einer kleinen Zahl von Würfen die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu erkennen.

Den Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung erhält man, indem man jeden Wert einer Zufallssvariablen mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und dann alle diese Produkte aufsummiert. Dies entspricht dem gewichteten Mittel bei der Häufigkeitsverteilung bzw. dem Mittelwert beim Würfeln.

Eine Anwendung der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Modellierung des Risikos der zukünftigen Performance von Positionen.

(Hier wurde die 1-Jahres-Performance (logarithmiert) normalverteilt mit Erwartungswert 5% und Standardabweichung 28% modelliert.)

Interressant sind dabei die Quantile, die als Maß für das Risiko verwendet werden. Das 1%-Quantil ist der Wert (der Zufallsvaribalen, hier des Ergebnisses), der mit 100% – 1% = 99% Wahrscheinlichkeit nicht unterschritten wird. (Er wird auch als VaR(99%) benutzt.) Zur Grafik: Innerhalb der schwarzen Elipse liegen 1% der Wahrscheinlichkeit und innerhalb der roten Elipse 5% der Wahrscheinlichkeit.

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Abweichung der Werte vom Erwartungswert.

Halbierung der Standardabweichung gegenüber der linken Verteilung führt zu geringeren Abweichungen in der rechten Verteilung
erdoppelung der Standardabweichung gegenüber der linken Verteilung führt zu größeren Abweichungen in der rechten Verteilung

Interaktiver Verteilungsrechner für das 1-Jahresergebnis eines Aktienportfolios von EUR 100 Mio.

Bedienungsanleitung:

Nach Betätigen der beiden Buttons „1. STARTPARAMETRISIERUNG“ und „2. GRAFIK AKTUALISIEREN“ wird die Grafik mit zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen sichtbar.

Die Parameter für die rechte Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man dann ändern und so die Auswirkungen der Parameter Erwartungswert, Standardabweichung und Korrelation (wird weiter unten erläutert) sehen.

Linke Grafik fix, rechte Grafik parametrisierbar

Spielen Sie ruhig ein bisschen mit den Parametern, die Sie schon kennen, nachdem Sie die beiden Buttons „1. STARTPARAMETRISIERUNG“ und „2. GRAFIK AKTUALISIEREN“ betätigt haben.

(Zu den Farben in der Grafik: Rot sind Größenklassen, die Verluste bedeuten, Gelb ist die Größenklassen mit der Null in der Miete, Grün sind die Größenklassen, die Gewinne bedeuten.)

(Das Kleingedruckte für die Statistiker: Für die Grafiken wurden die logarithmierten relativen Wertänderungen als normalverteilt modelliert. Erwartungswert und Standardabweichung sind entsprechend als logarithmierte relative Wertänderungen angesetzt.)

Spannend wird es, wenn man statt einer Aktie mehrere Aktien in das Portfolio nimmt. Ein Maß dafür, wie ähnlich die Bewegungen der Aktienkurse einander sind, ist die Korrelation mit Werten zwischen -1 und 1.

Wenn man die Zahl der Aktien im Portfolio auf 20 setzt, passiert …

nichts, denn bei einer Korrelation von 1 laufen alle Aktienkurse gleichartig:

Wenn man nun die Korrelation auf 0 setzt, wir die Verteilung deutlich schmaler, weil nun ale Aktienkurs sich unabhängig voneinander bewegen:

Doch 0 ist ein eher unrealistischer Wert für die Korrelation von Aktien. So liegt z.B. die Korrelation der „ewigen“ DAX-Werte, d.h. der Aktien, die von Anfang an bis heute im DAX sind in der Größenordnung von 0.7:

Solange man Korrelationen kleiner als 1 hat, kann man durch Diversifizierung die Breite der Verteilung und damit das Risiko reduzieren.

Dies war auch der Rahmen für die Portfoliotheorie von Markowitz (Effiziente Portfolien) und darauf aufbauend das CAPM von Sharpe (Market Price of Risk).

Wenn man den linken Rand der Verteilungen anschaut, kann man sehen, wie die Verteilung sich durch Diversifikation nach rechts verschiebt und der VaR (Value at Risk, wichtige Risikomaßzahl) kleiner wird: